Diseño de la esfera autoportante

En el verano de 2022, tuve la oportunidad de asistir a Valencia a las 20JAEM, las Jornadas de Aprendizaje y Enseñanza de las Matemáticas donde me inscribí en el Taller sobre el MMACA, Museo de las Matemáticas de Cataluña. En esa sesión descubrí un material que me fascinó una esfera compuesta por piezas curvas de madera que ensambladas correctamente daban lugar a un puzle esférico. 

Tomé algunas imágenes con la intención de exportar la idea para Matemadera. El reto estaba servido.

Los primeras intuiciones no llevan a pensar en que son 30 piezas, todas ellas idénticas con forma de trapecio circular. Y que se puede construir a partir de un arco de 1/5 de un círculo y las muecas están a 1/3  y 2/3 de la pieza. Así que nuestros compañero del departamento de Madera y Mueble se disponen a cortar las primeras piezas.

Montamos la esfera y el resultado es bastante bueno. Tenemos a nuestra disposición para empezar a diseñar actividades dos puzles esféricos de diámetro 20 cm. 

Sin embargo la alegría no nos duró demasiado. Nos habíamos propuesto hacer una esfera a mayor tamaño, de diámetro 50 cm y con las misma indicaciones la esfera no cierra. No reunimos en varias ocasiones para analizar el problema y buscar soluciones. La opción de ensayo y error, no era buena idea, ya que los compañeros estaban haciendo pruebas en un tamaño de 50 cm y aunque estaban usando retales, no nos parecía bien desperdiciar tanta materia prima.

Teníamos dos propuestas:

1. Hacer poco más corto cada una de las piezas, de manera que el recorte que le hiciéramos correspondiera con el grosor de la madera. Los compañeros de madera, intuyen que esa noes buena opción ya que intuyen que eso hará que la esfera se quede más corta todavía de lo que se queda.
2. La otra opción era acercar un poco las muescas interiores para que la parte exterior se alargase y por tanto cerrara un poco más. Al optar por esa segunda vía, comprobamos que se mejora el error, pero sigue sin cerrar. En esta opción se rompe la proporción de 1/3 y 2/3 para las muescas interiores. Y esa idea a mí personalmente no me gustaba ya que habíamos visto que esta figura que resulta tenía mucho que ver con el dodecaedro chato de los sólidos arquimedianos. 

 

Un nuevo análisis de las pieza originales nos llevan a plantearnos la opción de que los arcos sean 1/5 del círculo máximo. No encontramos una justificación para ello más que una intuición inicial que no tenemos claro de donde o qué momento la pensamos. Ampliamos los grados de 72º a 76º y manteniendo las muesca a 1/3 y 2/3. Las prueba en la pequeña esfera de 20cm mejoran la originales. Estamos muy contentos con la mejora.

El reto es encontrar una justificación de esta nueva medida. Tenemos la suerte de poder contactar con Josep Rey Nadal, y nos informa que el nombre oficial de este material es ROTEGRITY. 

El poder de una palabra. Con esa palabra se nos abren las opciones, nos facilita la búsqueda y localizamos en geogebra una versión online de la figura con algunas medidas. A partir de unos cálculos sencillos decidimos que el ángulo central teórico debe ser 78,17º. Para nuestras piezas tenemos que tener en cuenta el grosor de la madera. Para un grosor de madera de 3,5 mm y un radio de la esfera de 10 cm, el ángulo central sería 76,16º. Nos interesa reducir un poco más para tener un poco de margen de holgura a la hora de cerrar la última pieza. Por tanto la última prueba con 76º, estarían justificados.

Con el ángulo de 76º, la esfera pequeña de radio 10cm cierra de maravilla, podemos decir que es un material que ha quedado redondo. 

Para la esfera autoportante de radio 25 cm se hace con el mismo grosor de madera de 3,5 mm, el ángulo central sería 77,37º, sin embargo no  estamos del todo seguro de lo que va a ocurrir con cuando la montemos en este radio, el material es fino y nos preocupa que se rompan las espigas al cerrar la últimas pieza. Eso unido a algunas cuestiones organizativas, decidimos  construimos una esfera de radio 25cm con el mismo ángulo de 76º y así dejar un poco de margen de holgura para que la esfera cierre. La prueba es buena, pero el margen de holgura es excesivo, la esfera se puede montar y cierra, pero no es muy estable.  Concluimos que es más adecuado acercarnos al valor del teórico de 77,37º. Estimamos, antes de construirla que el margen de holgura en este caso debería de ser de aproximadamente 1cm.

La esfera construida mejora en el resultado final, cierra sin forzar y sin que se rompan las espigas. Decidimos recortar un poco la longitud de la espiga para facilitar que encajen la últimas piezas, eso hace que montar las primeras sea más inestable y necesiten de dos personas para empezar a montar. Pero el resultado es espectacular. 

Estamos listos para la última aventura. Montar la esfera gigante. En este caso debemos aprovechar los tableros que son de 1,20 m de ancho al máximo por eso no podemos ir a un radio máximo de 90 cm. 

Con 90 cm de radio y 9 mm de grosor de la pieza, tendríamos un ángulo de 77,6º. Los cálculos nos indican  que el arco mediría 123cm y de punta a punta sería 113cm  más la medida de las  pestaña. Por tanto, cumple con los requisitos establecidos. Esos son los valores con los que la construimos. 

 https://www.geogebra.org/m/ggumvpgm