Estudio del teorema de los 4 colores y su aplicación un icosaedro truncado

Descripción detallada de la actividad: 

• Alumnado: grupos de ESO y Bachillerato.
• Objetivo: comprender y aplicar el teorema de los cuatro colores mediante el pintado de un mapa de España dividido por provincias y un balón de fútbol (icosaedro truncado), desarrollando habilidades de razonamiento espacial y lógico-matemático.
• Relación con MATEMADERA: tras este estudio se ha construido un icosaedro truncado en el taller como parte del proyecto.
• Elementos tecnológicos específicos utilizados: https://paintonline.editaraudio.com/

Tiempo dedicado:

• Tiempo de preparación:
• 4 horas incluida la redacción de esta evidencia por parte de #2425ampalmag01.
• 2 horas de coordinación en las que participaron #2425ampalmag01, #2425bblanc0, #2425dromeroc03 y #2425ssanmiguelp01. 
• Tiempo de realización:
• 3 horas dedicadas en total, repartidas entre 2 grupos de 2º ESO y 1 grupo de 1º Bachillerato por parte de #2425ampalmag01.
• 2 horas dedicadas en total, repartidas entre 1 grupo de 1º ESO y 1 grupo de 3º ESO por parte de #2425bblanc0.

Descripción de la secuencia:

El Teorema de los Cuatro Colores indica que: "con solo cuatro colores es posible colorear cualquier mapa plano, de modo que ninguna región vecina tenga el mismo color."

Si se tiene un mapa político (como el de los países o comunidades autónomas), y se pinta cada país o zona con un color diferente al de sus vecinos (los que comparten frontera), no se necesitan más de cuatro colores para que no haya repeticiones. El teorema se puede aplicar a mapas reales, pero también a superficies geométricas o figuras tridimensionales convertidas en representaciones planas (como grafos).

Este teorema demuestra que, aunque un mapa pueda parecer muy complicado, siempre se puede resolver con solo cuatro colores. Es un problema de lógica y organización, y ayuda a entender mejor cómo funcionan las relaciones entre distintas zonas o regiones.

Fue planteado en 1852 por un joven matemático llamado Francis Guthrie, mientras intentaba colorear un mapa del Reino Unido. Muchos matemáticos intentaron demostrarlo, pero no lo lograron del todo. En 1976, los matemáticos Appel y Haken lograron finalmente demostrar el teorema... ¡usando un ordenador! Fue la primera vez que una computadora se usó para una demostración matemática tan compleja.

En la actividad se han seguido los siguientes pasos para la aplicación del teorema.

Paso 1. Introducción al teorema 

Se ha realizado una breve explicación del Teorema de los Cuatro Colores usando el siguiente vídeo:

Paso 2. Preparación del material

Se ha compartido con los alumnos el siguiente mapa de España dividido por provincias en blanco y negro en formato imagen (.jpg).

Paso 3. Edición con Paint Online

Cada alumno debe colorear las provincias, usando el software Paint Online, de forma que:

• No haya provincias contiguas del mismo color.
• Usen máximo 4 colores diferentes.

Se recomienda usar la herramienta "cubeta" de relleno y guardar el trabajo terminado como imagen.

Paso 4. Puesta en común y reflexión

Se comparan los resultados entre los alumnos: ¿todos han utilizado cuatro colores? ¿Alguien ha usado menos? Tras esto, se reflexiona sobre las estrategias seguidas.

Así como en el mapa de España se han usado cuatro colores para evitar repetir colores en regiones vecinas, ahora se aplica el mismo principio en un objeto tridimensional, el icosaedro truncado, comprobando que también es posible colorearlo con solo cuatro colores sin que caras contiguas compartan color. La imagen utiliza es la siguiente: