La pendiente de la recta a través de la Paradoja de Curry

• Título de la evidencia: La pendiente de la recta a través de la Paradoja de Curry

• Objetivo/s principal/es:

• Comprender el concepto matemático de pendiente como la relación entre la variación vertical y horizontal.

• Identificar falacias geométricas mediante el análisis de la Paradoja de Curry.

• Utilizar herramientas digitales (GeoGebra, Polypad) para verificar propiedades geométricas no evidentes a la vista.

• Trabajar de forma manipulativa con materiales físicos para consolidar el aprendizaje abstracto de las funciones lineales.

• Grupo o grupos de alumnado con el que se realiza la actividad: alumnado de 3º de ESO A y C.

• Descripción de la actividad: La actividad se diseñó como un proceso de investigación geométrica estructurado en tres niveles de abstracción:

• Nivel Audiovisual y Conceptual: se introdujo la actividad con el vídeo del canal Divermates (https://www.youtube.com/watch?v=OzU_hwjUho0), que plantea el reto visual de la Paradoja de Curry. Posteriormente, se utilizó un applet de la UNAM (http://prepa8.unam.mx/academia/colegios/matematicas/paginacolmate/applets/matematicas_VI_4/Applets_Geogebra/paradojacurry.html) para visualizar de forma interactiva cómo el reordenamiento de piezas parece generar un área extra.

• Nivel Experimental Digital: el alumnado trabajó con diseños específicos en GeoGebra (https://www.geogebra.org/m/u7VZQ9uT) y la herramienta Polypad (https://polypad.amplify.com/p/ppJvoRLLY7rhHg). En esta fase, los estudiantes midieron las pendientes de las hipotenusas de los triángulos que forman la figura, descubriendo que no son iguales y que, por tanto, la "hipotenusa" total no es una línea recta, sino una línea quebrada.

• Nivel Manipulativo Físico: se utilizaron los materiales de madera del proyecto Matemadera. Los alumnos manipularon las piezas físicas para intentar encajar el puzzle, contrastando su percepción táctil con los cálculos de pendientes realizados previamente en el entorno digital.

Herramientas tecnológicas: YouTube (Divermates), Applet UNAM, GeoGebra, Polypad, Pizarra Digital.

• Metodologías activas utilizadas:

• Aprendizaje Basado en la Indagación (Inquiry-Based Learning): el alumnado debe resolver el misterio del "cuadrado perdido" mediante la investigación y el cálculo.

• Aprendizaje Manipulativo: el uso del proyecto Matemadera permite que los conceptos abstractos de pendiente y tangencialidad se vuelvan tangibles.

• Aprendizaje Basado en el Pensamiento (TBL): se fomenta el pensamiento crítico para dudar de la percepción visual y confiar en la demostración matemática.

• Relación de la actividad con el proyecto CITE del centro: la actividad desarrollada por este grupo de alumnos contribuye de forma directa al proyecto CITE STEAM del centro, el cual está orientado al aprendizaje en el ámbito de la madera y las matemáticas. El uso del puzzle ha permitido al alumnado trabajar en el análisis de prototipos físicos, comprobando empíricamente cómo la precisión en el diseño, el dibujo analítico y la fabricación de las piezas de madera son la clave para generar (y posteriormente desmontar) la falacia geométrica de la paradoja de Curry. Para que esta adquisición de competencias fuera efectiva, el trabajo del alumnado ha respondido a tres fases principales de investigación y creación. En primer lugar, se definió el reto geométrico y se facilitó la información pertinente mediante el planteamiento del conflicto visual de áreas. En segundo lugar, utilizando las herramientas proporcionadas, los estudiantes pasaron por un proceso de creación y comprobación: usaron entornos de edición como Polypad y GeoGebra para el dibujo y medición de planos digitales (cálculo de pendientes exactas), y lo contrastaron inmediatamente manipulando los prototipos de madera. En tercer lugar, tras el análisis, se presentó un producto final con la demostración matemática que resuelve la paradoja, el cual se documentó y distribuyó a través de los canales de difusión disponibles en el centro, como son las redes sociales de Instagram @ieseugeniofrutos, poniendo en valor el trabajo con materiales manipulables.

• Dificultades encontradas: La principal dificultad fue la ruptura cognitiva que supone aceptar que lo que el ojo ve como una línea recta es, en realidad, un ángulo muy obtuso. A nivel técnico, algunos alumnos requirieron apoyo extra para manejar la herramienta de medición de pendientes en Polypad y entender la relación entre la cuadrícula y la razón trigonométrica.

• Trabajo de preparación previa del docente: búsqueda y selección de recursos audiovisuales y applets interactivos relacionados con la paradoja de Curry, configuración de los lienzos en Polypad, revisión y prueba previa de los recursos digitales utilizados en GeoGebra, y diseño de la ficha de registro de datos para el cálculo de pendientes.. Las horas totales invertidas han sido 4 horas.

• Horas de trabajo del alumnado en el aula: la actividad se desarrolló durante 8 horas de trabajo en el aula (4 horas en 3º ESO A y otras 4 en 3º ESO B).

• Dificultades encontradas para poder alcanzar el % de trabajo con el alumnado: no se han registrado dificultades significativas. El uso de material físico (madera) resultó ser un factor altamente motivador que mantuvo al alumnado concentrado durante todas las sesiones.

• Elementos multimedia que documenten el desarrollo de la actividad: