Comparación de Infinitos: De las Regletas a los Límites.

TÍTULO DE LA EVIDENCIA: Comparación de Infinitos: De las Regletas a los Límites.

Esta actividad conecta el aprendizaje manipulativo con conceptos abstractos del Cálculo. En la primera sesión, utilizamos regletas Cuisenaire para experimentar que la división es una forma de comparar magnitudes y trasladamos esta idea a la comparación de infinitos: ¿qué significa que una función crezca más rápido que otra? Finalmente, representamos gráficamente en GeoGebra y proponemos una investigación sobre funciones atípicas.

Objetivo Principal de la Actividad

Desarrollar la comprensión del concepto de infinito y la comparación de órdenes de infinito mediante la transición desde experiencias manipulativas concretas con regletas Cuisenaire hacia conceptos abstractos del Cálculo, integrando la representación gráfica digital en GeoGebra y la investigación guiada de funciones atípicas.

Relación con el Proyecto Matemadera

Esta actividad forma parte integral del proyecto Matemadera, utilizando específicamente las regletas Cuisenaire como material didáctico manipulativo que conecta la educación aritmética elemental con conceptos avanzados de Análisis Matemático. Se alinea con la propuesta pedagógica de Matemadera de acercar las matemáticas a través de la experimentación, la manipulación y la visualización, permitiendo que el alumnado construya significados matemáticos desde experiencias sensoriales concretas hacia abstracciones más complejas.

Descripción detallada de la actividad: 

Grupo: 2º Bachillerato Ciencias Sociales
Duración: 2 sesiones (2 días)

Sesión 1: Regletas y División como Comparación

Exploración con Regletas

Trabajamos con regletas Cuisenaire en grupos. La pregunta inicial es: "¿Cuántas veces cabe la regleta blanca en la naranja?"

El alumnado manipula las regletas, coloca las más pequeñas sobre las grandes y verbaliza: "La naranja es 10 veces la blanca". Esto es división: una forma de comparación.

Registramos varias comparaciones: Roja ÷ Blanca = 2; Naranja ÷ Blanca = 10; Naranja ÷ Roja = 5

También en el sentido inverso, el alumnado manipula las regletas, colocando la más grande sobre la pequeña y verbaliza: "no cabe entera, por tanto cabe, media vez, o un tercio..."

Conceptualización: La división responde a la pregunta "¿cuántas veces cabe una magnitud en otra?"

Puente hacia el Infinito: Se plantea: "Si tuviéramos barras cada vez más largas, ¿Qué significa que una crece más rápido que otra?"

Límites de Funciones Racionales. Presentamos funciones racionales y analizamos la estrategia de comparación de grados de polinomios. El alumnado predice el límite antes de verificar en GeoGebra. Se comparan aciertos y se analizan errores.

Sesión 2: Órdenes de Infinito

Exploramos tres funciones: $𝑦={\log }_{10}(𝑥),𝑦={𝑥}^{10},𝑦={10}^{𝑥}$

El alumnado observa valores para x = 10, 100, 1000, 10000

x	${\mathrm{y=log}}_{10}(𝑥)<span> \; </span><span> \; </span>$	${\mathrm{y=𝑥^}}^{\mathrm{10<span> \; </span><span> \; </span>}}$	${\mathrm{<span> \; <span> \; </span><span> \; </span></span>y=10^}}^{𝑥}$
10	1	${\mathrm{10<span\; style="font-weight:\; 700;\; text-align:\; center;">^</span>10}}^{}$	${\mathrm{<span> \; </span><span> \; </span>10<span\; style="font-weight:\; 700;\; text-align:\; center;">^</span>10}}^{}$
100	2	${\mathrm{100<span\; style="font-weight:\; 700;\; text-align:\; center;">^</span>10=10<span\; style="font-weight:\; 700;\; text-align:\; center;">^</span>20}}^{}$	${\mathrm{<span> \; </span><span> \; </span>10<span\; style="font-weight:\; 700;\; text-align:\; center;">^</span>100}}^{}$
1000	3	1000^10=10^30	${\mathrm{<span> \; </span><span> \; </span>10<span\; style="font-weight:\; 700;\; text-align:\; center;">^</span>1000}}^{}$

Los estudiantes lo representan en GeoGebra tanto con tabla como con funciones. 

Jerarquía de infinitos:

${\log }_{10}(𝑥)\ll {𝑥}^{10}\ll {10}^{𝑥}$

Se verbaliza: "El logaritmo crece lentamente, la potencia mucho más, pero la exponencial es la que tiene el crecimiento más rápido."

Investigación Abierta 

Se plantea la pregunta: ¿Qué ocurre con $𝑦={\log }_{𝑥}(10)$?

En pequeños grupos, el alumnado explora en GeoGebra. Mantenemos las demás funciones pintadas para comparar.  

Dejamos explorar y finalmente provocamos para que lleguen el cambio de base a base x y comprobamos que es la inversa de log(x) 

${\log }_{𝑥}(10)=\frac{1}{\log (𝑥)}$log(10)=log(x)^(-1)

Han sido preguntas adecuadas para guiar la actividad en los grupos:

• ¿Cuál es el dominio? ¿Qué ocurre cuando 𝑥→-∞ y $x\to +\infty$?

• ¿Cómo se comporta cerca de $𝑥=1$?

• ¿Es creciente o decreciente?